假设我们有一个数组，如何生成它的所有排列（即集合{A,B,C}上的所有置换）？比如，ABC的所有排列是：

字典序

假设我们有一个数组，如何按照字典序生成下一个排列？比如，假如输入的数组是{1,3,2}，那么下一个排列就是{2,1,3}。

对于这个问题，我是这么想的：

首先考虑一个极端的特殊情形：数组里所有元素都是按降序排列，如7654321。那么它的下一个排列是不存在的。因为没有办法把它排列成一个更大的数字。
在此基础上考虑下一种情形：除了第一个元素外，剩下的都是按降序排列。即，在上面的数组的左边再加一个额外的数组。如47654321。那么这种情况下我们只需要把第一个元素变得稍微更大一些。即，把它和一个比它大的元素swap一下。在这个例子中比4 大的元素中最小的是5。所以我把第一个元素和5交换。然后我们需要把从2个元素开始到末尾的所有元素逆序排列。即把第二个数字和最后一个数字交换。把第三个数字和倒数第二个交换。如此类推。因为这个操作能产生一个更小的序列。
然后就是更一般的情形: 在第二种情形的数组的左边再加上任意其它数字，算法依然保持不变。多加的那些数字并不对逻辑造成任何影响，我们不需要去查看那些元素。至此，我们已经列出了所有的可能性。

下面是按照上述思想实现的代码:

1	// F's signature is bool(std::span<const int>)
2	#include <span>
3	template <typename F>
4	inline void VisitAllPermutation(std::span<int> a, F &&f) {
5	if (a.size() == 1) {
6	if (!f(a)) return;
7	return;
8	}
9	if (a.size() == 2) {
10	if (!f(a)) return;
11	std::swap(a[0], a[1]);
12	if (!f(a)) return;
13	return;
14	}
15	const size_t n = a.size();
16	while (true) {
17	if (!f(a)) return;
18	size_t j = n - 1;
19	while (a[j - 1] >= a[j]) {
20	--j;
21	if (j == 0) return;
22	}
23	size_t l = n - 1;
24	--j;
25	while (a[j] >= a[l]) --l;
26	std::swap(a[j], a[l]);
27	// a[j+1] to the end
28	std::reverse(a.begin() + j + 1, a.end());
29	}
30	return;
31	}

写完之后我尝试如何改进它。于是我就想，在上述的第二种情况里，我们需要在一个有序的数组中做查找。那为何不用二分查找呢？上面的代码是从右往左扫描该有序数组，如果换成二分查找，效率会不会更高？于是我写了下面的代码片段：

1	// 把下面的代码稍作修改放在一个for循环里就能实现VisitAllPermutation的功能。
2	#include <cassert>
3	#include <span>
4	inline void NextPermutation(std::span<int> nums) {
5	if (nums.size() <= 1) return;
6	if (nums.size() == 2) {
7	std::swap(nums[0], nums[1]);
8	return;
9	}
10	size_t i = nums.size() - 1;
11	while (i > 0) {
12	--i;
13	if (nums[i] >= nums[i + 1]) continue;
14	// numbers in range [i+1, end) are sorted
15	// 先reverse, 再做二分查找
16	std::reverse(nums.begin() + i + 1, nums.end());
17	auto iter = std::upper_bound(nums.begin() + i + 1, nums.end(), nums[i]);
18	// at least nums[i+1] is bigger than nums[i]
19	assert(iter != nums.end())(static_cast <bool> (iter != nums.end()) ? void (0) : __assert_fail ("iter != nums.end()", __builtin_FILE (), __builtin_LINE (), __extension__ __PRETTY_FUNCTION__));
20	std::swap(*iter, nums[i]);
21	return;
22	}
23
24	std::reverse(nums.begin(), nums.end());
25	}

然而，经测试发现比第一个程序慢了一倍多。因为，在这个算法里当我们做查找的时候，大部分时候要找到元素就在该数组的末尾。我觉得这个很有趣。它提醒我们：当选择算法的时候，不仅要考虑算法复杂度，还要考虑数据的分布是否均匀。

于是，这就提示我们：可以通过loop-unrolling的方式提高热点代码的执行效率。比如下面的代码就要比使用STL的next_permutation来访问所有排列要快一倍多。

1	// F's signature is bool(std::span<const int>)
2	#include <span>
3	template <typename F>
4	inline void VisitAllPermutation2(std::span<int> a, F&& f) {
5	if (a.size() == 1) {
6	if (!f(a)) return;
7	return;
8	}
9	if (a.size() == 2) {
10	if (!f(a)) return;
11	std::swap(a[0], a[1]);
12	if (!f(a)) return;
13	return;
14	}
15	const size_t n = a.size();
16	while (true) {
17	if (!f(a)) return;
18	int* p = a.data() + n - 1;
19	int z = *p--;
20	int y = *p;
21	// int y = a[n - 2];
22	// int z = a[n - 1];
23	if (y < z) {
24	a[n - 2] = z;
25	a[n - 1] = y;
26	continue;
27	}
28	// int* p = a.data() + n - 3;
29	int x = *--p;
30	if (x < y) {
31	if (x < z) {
32	*p++ = z;
33	*p++ = x;
34	*p = y;
35	} else {
36	*p++ = y;
37	*p++ = z;
38	*p = x;
39	}
40	continue;
41	}
42
43	size_t j = n - 3;
44	if (j == 0) {
45	return;
46	}
47	y = a[j - 1];
48
49	while (y >= x) {
50	--j;
51	if (j == 0) {
52	return;
53	}
54	x = y;
55	y = a[j - 1];
56	}
57	if (y < z) {
58	a[j - 1] = z;
59	a[j] = y;
60	a[n - 1] = x;
61	std::reverse(a.begin() + j + 1, a.begin() + n - 1);
62	continue;
63	}
64
65	size_t l = n - 2;
66	while (y >= a[l]) {
67	--l;
68	}
69	a[j - 1] = a[l];
70	a[l] = y;
71	a[n - 1] = a[j];
72	a[j] = z;
73	std::reverse(a.begin() + j + 1, a.begin() + n - 1);
74	}
75	return;
76	}

非字典序算法

未完待续

不含三个连续下降数字的的置换

定义： $a_{1}, a_{2}, . . a_{n}$ 是集合 ${1, 2, \dots, n}$ 上的一个置换。假设 $a_{i_{1}}, a_{i_{1}}, . . a_{i_{k}}$ 是置换 $a_{1}, a_{2}, . . a_{n}$ 的一个子序列（即 $1 < = i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} < = n$ ）且 $a_{i_{1}}, a_{i_{1}}, . . a_{i_{k}}$ 里的数字是严格递减排列。那么 $a_{i_{1}}, a_{i_{1}}, . . a_{i_{k}}$ 被称为是一个长度为k的递减子序列。

下面我们特别关心k=3这种情况。我们考察集合 ${1, 2, \dots, n}$ 上的所有置换里不含长度为3的递减子序列的置换有多少个。这个答案恰好是Catalan Numbers。

比如，321是一个长度为3的递减子序列。 ${1, 2, 3}$ 这个集合上所有其它的置换都不存在长度为3的递减子序列。这样的置换一共有3!-1=6-1=5个。

比如，4321是一个长度为4的递减子序列。 ${1, 2, 3, 4}$ 这个集合上有如下置换存在长度3的递减子序列：

1,4,3,2
2,4,3,1
3,2,1,4
3,2,4,1
3,4,2,1
4,1,3,2
4,2,1,3
4,2,3,1
4,3,1,2
4,3,2,1

以上一共是7个。而 ${1, 2, 3, 4}$ 有4!=24种置换。所以其中有24-7=14个不存在长度为3的递减子序列。